درباره تمامی اعداد

اعداد حسابی همان اعداد طبیعی هستند که صفر هم به آنها اضافه شده است. به عبارت دیگر به مجموعه‌ی اعداد زیر ،‌ اعداد صحیح یا اعداد درست گویند و آن را با Z نمایش می‌دهند:

{ ... , 3 , 2 , 1 , 0 , 1- , 2- , 3- , ...} = Z
درواقع اعداد صحیح شامل اعداد طبیعی مثبت و اعداد طبیعی منفی و عدد صفر است. این اعداد همانند اعداد طبیعی جزء مجموعه های شمارش پذیر نامتناهی است. شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه در مورد ویژگی‌های اعداد صحیح می پردازدنظریه اعداد نام دارد.

صحیح همانند اعداد طبیعی نسبت به اعمال جمع و ضرب بسته است،یعنی جمع و ضرب هر دو عدد صحیح، یک عدد صحیح است. و چون اعداد صحیح شامل اعداد منفی و صفر می باشند بنابراین بر خلاف اعداد طبیعی نسبت به عمل تفریق نیز بسته اند.ولی چون حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر هم ممکن است عددی صحیح نباشد،پس نمی‌تواند نسبت به عمل تقسیم بسته باشد.

 

اعداد طبیعی

---

اعداد طبیعی، اعدادی هستند که برای شمردن به کار می‌روند. مجموعه اعداد طبیعی {... ,۳ ,۲ ,۱} است.در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی به وجود می‌آید. این مجموعه یک مجموعه نامتناهی است.در ریاضیات، مجموعه اعداد طبیعی را با نماد N نمایش می‌دهند. این حرف از آغاز واژه انگلیسی Natural، به معنای طبیعی، گرفته شده است.

 

اعداد گنگ اعداد اصم

---

اعداد گنگ، یا اعداد اصم، اعدادی حقیقی هستند که گویا نباشند، یعنی نتوان آن‌ها را به صورت کسری که صورت و مخرجش عدد صحیح باشند نوشت. مجموعه اعداد گنگ مجموعه‌ای ناشمارا است ولي می‌توان اعداد گنگ را روي محور اعداد نمايش داد كار بسيار ساده ايي است كافي است هندسه را در رياضيات مورد استفاده قرار دهيم . امتحان كنيدميتوان از رابطه فيثاغورث استفاده كرد.

 

اعداد اول

---

اعداد اول اعدادی طبیعی هستند که بر هیچ عددی بجز خودشان و عدد ۱ بخش‌پذیر نباشند. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ۱ اول نباشد مرکب است.عدد یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۰ فقط ممکن است اعداد ۱، ۳، ۷، ۹ باشد.اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها به دست نیاورده است.سری اعداد اول به این صورت شروع می‌شود: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹ ...

قضیه ۱: تعداد اعداد اول بی‌نهایت است.
برهان: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است اثبات می‌کنیم: فرض کنید تعداد اعداد اول متناهی و تعداد آنها n تا باشد. حال عدد M را که برابر حاصل‌ضرب این اعداد به علاوه ۱ را در نظر بگیرید. این عدد مقسوم‌علیهی غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است.

 

قضیه ۲ (قضیه اساسی حساب): هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ را به شکل حاصل‌ضرب اعدادی اول نوشت.
قضیه ۳ (قضیه چپیشف):اگر n عددی طبیعی و بزرگ‌تر از ۳ باشد، حتما" بین n و ۲n عدد اولی وجود دارد. قضيه ۴ هر عدد زوج را می‌توان بصورت جمع سه عدد اول نوشت.
قضيه ۵ هر عدد فرد (شامل اعداد اول) را می‌توان به صورت جمع سه عدد اول نوشت (اثبات بر پايه قضيه ۴)
قضيه 6-هر عدد فرد را می‌توان به صورت دو برابر يك عدد اول بعلاوه يك عدد اول ديگر نوشت.

خواص اعداد اول:

1- هر عدد اول برابر است با 6n+1 يا 6n-1 كه n يك عدد صحيح است.
2-مجذور هر عدد اول برابر است با 24n+1.
3-تفاضل مجذورهاي دو عدد اول مضربي از 24 است.
4-حاصلضرب هر دو عدد اول بجز 2و3 مضربي از 6 بعلاوه يا منهاي يك است.

توان چهارم هر عدد اول بجز 2و3 مضربي از 240 بعلاوه يك است.

بزرگ‌ترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان ‪ ۳۰‬ميليون و ‪ ۴۰۲‬هزار و ‪ ۴۵۷‬منهاي يك است.این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر 2 به توان n منهای یک است.

لازم به ذكر است كه تعداد 3000 عدد اول در سايت مگاسندر [url]www.megasender.org[/url] وجود دارد و افرادي كه مايل به دريافت بيشتر اين اعداد هستند مي توانند با سايت مذكور تماس گرفته و تعداد بيشتري از آنها را بر روي لوح فشرده دريافت نمايند و طراحان اين سايت خودشان اين اعداد را محاسبه نموده اند.

 

عدد جبری

---

اعداد جبری در ریاضیات اعدادی هستند که جواب معادله‌ای به شکل زیر باشند:

anxn + an−1xn−1 + ··· + a1x + a0 = 0

ضریب‌های a0 تا an در این معادله چند جمله‌ای اعداد گویا هستند.
تمام اعداد گویا اعداد جبری هم هستند. بعضی از اعداد حقیقی عدد جبری نیستند. عددی که جبری نباشد عدد متعالی (یا غیرجبری) نامیده می‌شود.

 

اعداد حقيقي

---

میدان تمام اعداد گویا و گنگ را اعداد حقیقی گویند و آن را با R نمایش می‌دهند. اعداد حقیقی را می‌توان با اضافه کردن عدد موهومی( ) بسط داد. اعدادی به فرم a + bi که در آن a و b هر دو عدد حقیقی هستند را اعداد مختلط مینامند.

 

اعداد صحیح

---

اعداد صحیح به مجموعهٔ اعداد طبیعی مثبت، اعداد طبیعی منفی، و عدد صفر گفته می‌شود. در ریاضیّات، معمولاً این مجموعه را با Z یا (ابتدای کلمه آلمانی Zahlen به معنی اعداد) نشان می‌دهند. همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد صحیح نیز یک مجموعهٔ شمارای نامتناهی‌ست.شاخه‌ای‌ از ریاضیّات که به مطالعهٔ اعداد صحیح می‌پردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد.

خواص جبری
همانند اعداد طبیعی، Z نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. بر خلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحيح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به Z تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته است. اما Z تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوما عددی صحیح نخواهد بود.
برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده است (در اینجا b ،a، و c اعداد صحیح دل‌خواه هستند

جمع ضرب
بسته بودن: a + b یک عدد صحیح است a × b یک عدد صحیح است
شرکت پذیری: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
تعویض پذیری: a + b = b + a a × b = b × a
وجود یک عنصر واحد: a + 0 = a a × 1 = a
وجود یک عنصر عکس: a + (−a) = 0
توزیع پذیری: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
نداشتن مقسوم علیه‌های صفر: اگر ab = 0، آنگاه a = 0 یا b = 0

مطابق بالا، خواصّ بسته بودن، شرکت پذیری و جابه جایی (یا تعویض پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود عضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو معکوس فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّت توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردارند.


در مبحث جبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان می‌دهد که مجموعهٔ Z به همراه عمل جمع یک گروه آبلی است. امّا، از آن جا که نسبتZ به ضرب عضو وارون (یا معکوس) ندارد، مجموعهٔ اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب، گروه نمی‌سازد.


مجموعهٔ ویژگیهای ذکر شده حاکی از این است که ، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک حلقه است، امّا، به دلیل نداشتن وارون ضربی، میدان نیست. مجموعهٔ اعداد گویا را باید کوچک‌ترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر می‌گیرد.
اگرچه تقسیم معمولی در اعداد صحیح تعریف شده نیست، خاصیّت مهمّی در مورد تقسیم وجود دارد که به الگوریتم تقسیم مشهور است. یعنی به ازاء هر دو عدد صحیح و دل‌خواه a و b) b مخالف صفر)، q و r منحصر به فردی متعلق به مجموعه اعداد صحیح وجود دارد، به طوریکه: a = q.b + r که در این جا، q خارج قسمت و r باقیمانده تقسیم a بر b است. این کار اساس الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک را تشکیل می‌دهد.
همچنین در جبر مجرد، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد، یک دامنه اقلیدسی است و در نتیجه دامنه ایده‌آل اصلی می‌باشد و هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک را می‌توان به طور یکتا به حاصل‌ضرب اعداد اوّل تجزیه کرد (قضیه اساسی علم حساب.)

تاریخچه اعداد

۱- بشر اولیه مجبور بود برای تامین غذای روزمره به شکار و جمع آوری میوه ی درختان بپردازد.با گذشت زمان انسان توانست طبیعت را تا حدی مهار کند و به کشاورزی و دامداری مشغول شود.در واقع از مرحله جمع آوری غذا به مرحله تولید غذا رسید.این مسئله نیاز به شمارش را ایجاد کرد.انسان اولیه باید به نحوی مشخص میکرد که چه تعداد دام دارد و مثلا محصول مزرعه اش شامل چند میوه است.این مسئله رفته رفته باعث تعریف اعداد طبیعی    {۱و۲و۳و...} شد.تا این مرحله اعداد طبیعی تمام نیازهای بشر اولیه را جوابگو بود.

۲- پیشرفت تمدن و بوجود آمدن روستاها باعث شد تا مسئله ی داد و ستد بین مردم مطرح شود.اگر شما ده راس دام داشته باشید و دیگری ۷ راس دام و شما ۴ راس دام خود را به او بفروشید شما چند راس دام خواهید داشت و او چند راس؟ اینجا طبیعتا مسئله جمع و تفریق را مطرح میشد.مسئله ی جمع و تفریق رفته رفته پای صفر و اعداد منفی را به دنیای اعداد باز کرد و اعداد صحیح {...و-۲و-۱و۰و۱و۲و...} تعریف شدند.ظاهراً اعداد صحیح دیگر همه نیازهای محاسباتی بشر را پاسخ میگفت!!!

۳- اگر بخواهیم عدد ۱۰ را ۵ بار با هم جمع کنیم باید ۱۰+۱۰+۱۰+۱۰+۱۰ را محاسبه کنیم.برای بشر نخستین محاسبه چنین حجمی از محاسبات٬کار دشواری بود چرا که آنها محاسباتشان را به کمک چیزهایی مثل تکه های سنگ یا ایجاد برش در تکه ای چوب(چوب خط) انجام میدادند.اینجا بود که نمایش ۱۰×۵ بجای۱۰+۱۰+۱۰+۱۰+۱۰ مطرح شد و عمل ضرب عینیت یافت.همچنین بحث تقسیم محصول یا غنایم بین افراد یک روستا یا قبیله باعث ایجاد عمل تقسیم شد.بشر اولیه باید به نحوی مشخص میکرد که برای تقسیم ۲۰ نان بطور مساوی بین ۵ نفر به هر نفر چند نان میرسید.

۴- حال اگر بخواهید ۲۰ نان را بین ۷ نفر بطور مساوی تقسیم کنید چه؟!!! یا فرض کنید بخواهید طول پارچه ای را در حالی حساب کنید که واحد اندازه گیریتان چوبی با طول مشخص است اما طول پارچه نه به اندازه یک طول چوب است نه به اندازه دو طول چوب!!! اینجا کم کم سر و کله ی اعداد گویا   {p/q بطوریکه p,q اعداد طبیعی باشند} پیدا شد. وضعیت اعداد گویا کمی نامشخص است یعنی به فرض شما نمیتوانید سریع تشخیص دهید که عدد ۶/۹(نه ششم) بزرگ تر است یا عدد ۵/۸(هشت پنجم) اینجا بود که نماد گذاری جدید اعشاری بوجود آمد. نمایش نه ششم بصورت ۱.۵ و هشت پنجم بصورت ۱.۶ کاملا وضعیت را مشخص میکرد.

۵- حال اگر بخواهید عدد یک سوم را بصورت اعشاری نشان دهید چه اتفاقی می افتد؟یک تقسیم ساده نشان میدهد که عدد اعشاری ۱.۳۳۳۳۳۳۳۳۳۳ است و این عدد ۳ بینهایت بار تکرار میشود!!! در مورد بیست و دو هفتم مسئله جالبتر است!!! نمایش اعشاری این عدد بصورت ۳.۱۴۲۸۵۷۱۴۲۸۵۷۱۴۲۸۵۷۱۴۲۸۵۷ است و این بار ۱۴۲۸۵۷ بینهایت بار تکرار میشود!!!  این گونه اعداد گویا را که دارای نمایش اعشاری بی پایان اما تکراری هستند نامختوم تکراری می نامند و اعداد گویایی که نمایش اعشاریشان با پایان است را مختوم می نامند. به نظر میرسید که بجز اعداد گویا دیگر عدد دیگری وجود نداشته باشد و بشر بتواند تمام محاسباتش را با کمک این اعداد انجام دهد.

۶- سه ضربدر سه برابر ۹ است و شش ضربدر شش برابر ۳۶.اینجا رادیکال تعریف میشود.۳=۹√ و ۶=۳۶√ حال ۲√ برابر چند است؟در واقع فیثاغورث اثبات کرده بود که اگر a و b دو ضلع مثلث قائم الزاویه ای باشند و c وتر آن باشد آنگاه a×a + b×b=c×c حال اگر a و b هر دو برابر یک باشند باید عددی یافت که ضربدر خودش برابر ۲ شود.این مسئله را بطریق دیگری هم میتوان بیان کرد.طول قطر مربعی به ضلع یک را بیابید.مسئله دقیقا هم ارز با محاسه طول وتر مثلث قائم الزاویه ای با دو ضلع یک است!!! محاسبات فیثاغورثیان(شاگردان و پیروان فیثاغورت)نشان داد که نمایش اعشاری ۱.۴۱۴۲۱۳۵۶۲=۲√ نه مختوم است و نه نامختوم تکراری!!! اینجا بود که اعداد گنگ مطرح شدند.بشر بعدها فهمید که محیط دایره ای به قطر ۱ هم عددی گنگ است.این عدد گنگ را عدد پی∏ نامیدند که برابر است با ۳.۱۴۱۵۹۲۶۵۴ به مجموعه اعداد گویا و گنگ اعداد صحیح میگویند.

۷- به نظر میرسید با کشف اعداد گنگ دیگر عدد دیگری در طبیعت وجود نداشته باشد اما...!!! اگر عدد 1 جواب معادله x-۱=0 ٬عدد 1- جواب معادله x+۱=0 ٬عدد یک دوم جواب معادله 2x-۱=۰ و عدد ۲√ جواب معادله ۰=x.x-۲ باشد٬جواب معادله x.x+۱=۰ برابر چیست؟ ۱-√؟اما رادیکال که برای اعداد منفی تعریف نشده است!!! تعریف نشده؟!!! مگر تعریف را خودمان بوجود نیاورده ایم؟خب حال تعریف جدیدی ارائه میکنیم!!! عدد مختلط i را بگونه ای تعریف میکنیم که i×i=-۱ پس جواب معادله x.x+۱=۰ برابر i است!!! شکل کلی اعداد مختلط بصورت a+bi است و a را بخش حقیقی و b را بخش موهومی مینامند.برخلاف اعداد حقیقی که روی یک خط نمایش داده میشوند اعداد مختلط را روی صفحه نمایش میدهند.یک محور برای بخش حقیقی و یک محور برای بخش موهومی.با تعریف اعداد مختلط همه معادلات چند جمله ای دارای جواب هستند اما باز هم یک سوال مطرح میشود.آیا هنوز هم اعدادی کشف نشده وجود دارند؟ فقط خدا میداند!!!